Penjelasan Matematis Hubungan Kurva Biaya Rerata dan Biaya Marjinal

Oke, kali ini saya akan menulis sesuatu yang serius dan tidak baper.

***

Selama ini saat mempelajari teori biaya produksi, terutama jika masih di tataran sekolah menengah, kita diberi sebuah ‘doktrin’ yang perlu dihapal dan jangan-tanya-kenapa mengenai hubungan kurva biaya marjinal (MC) dan biaya rerata (AC). Bunyinya kira-kira seperti ini:

Ketika kurva MC di bawah kurva AC, kurva AC menurun. Ketika kurva MC di atas kurva AC, kurva AC menaik. Kurva MC memotong kurva AC di titik minimum.

Secara grafis:

average-and-marginal-cost-5

Gambar saya pinjam dari sini.

Kalimat terakhir dari kutipan tersebut mungkin menjadi salah satu kalimat yang paling familiar terutama bagi anak-anak ekonomi. Mahasiswa Ilmu Ekonomi tentu seharusnya tidak hanya hapal konsep tersebut, tetapi juga bisa memberi penjelasan mengapa hal tersebut bisa terjadi. Penjelasan mengenai hal ini dapat dilakukan secara verbal, namun, agar sahih dan kuat (rigorous), kita akan menggunakan matematika. OK, kita mulai.

Biaya total TC merupakan fungsi dari kuantitas output Q,

TC = f(Q)

Biaya rata-rata AC adalah biaya total TC dibagi kuantitas output Q,

AC = \dfrac {TC}{Q}

Biaya marjinal MC adalah perubahan TC tiap perubahan Q,

MC = \dfrac {\Delta TC}{\Delta Q}

Jika TC dan Q kontinyu, MC dapat pula didefinisikan sebagai turunan pertama dari fungsi TC terhadap Q,

MC = \dfrac{dTC}{dQ} = TC'

Naik atau turunnya kurva AC dapat dilihat dari turunan pertama kurva AC terhadap Q. Jika dAC/dQ>0 kurva AC sedang naik, jika dAC/dQ<0 kurva AC turun, sementara ketika dAC/dQ=0 kurva AC sedang berada di titik minimum.

Kita ingat kaidah diferensiasi pembagian fungsi,

\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{vu'-uv'}{v^2}

Dengan demikian,

\dfrac {dAC}{dQ} = \left( \dfrac{TC}{Q} \right)' = \dfrac {Q \cdot TC' - TC \cdot  Q'}{Q^2}

Karena TC'=MC dan Q'=1, maka

\dfrac {dAC}{dQ}  = \dfrac {Q \cdot MC - TC}{Q^2}

Sampai di sini kita mendapatkan hubungan:

\dfrac {dAC}{dQ}  \lesseqqgtr 0 sebagaimana \dfrac {Q \cdot MC - TC}{Q^2} \lesseqqgtr 0

Kita susun ulang persamaan di sebelah kanan menjadi

Q \cdot MC - TC \lesseqqgtr 0

\Leftrightarrow Q \cdot MC \lesseqqgtr TC

\Leftrightarrow MC \lesseqqgtr \dfrac{TC}{Q}

\Leftrightarrow MC \lesseqqgtr AC

Kita tulis lagi hubungan yang sudah kita dapatkan:

\dfrac {dAC}{dQ}  \lesseqqgtr 0 sebagaimana MC \lesseqqgtr AC

Jengjeng! Akhirnya kita mendapatkannya.

Advertisements

Leave a comment

Filed under Uncategorized

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s